保罗·罗默：经济增长理论中的数学滥用

摘要：科学本应以理性分析求得广泛共识，但在经济增长理论中“数学滥用”的伪科学方法反倒使经济学家将错误的主张合理化了。本文通过生动的例证，指出“数学滥用”是如何通过使用大量脱离理论基础的非正规用语与符号和具有欺骗性的假定，忽略紧密的逻辑推演，从而导出错误的结论的。本文还强调，学术界已将数学滥用当作是一种默认的潜规则，长此以往会对学术发展造成巨大的伤害。

关键词：数学滥用 经济增长 经济理论

政治活动并不必然产生广泛共识，政治决策的形成也不以共政识作为必要条件。随着不同政党间的政见分歧愈演愈烈，政客们也越来越热衷于鼓吹煽动，很少对具体问题进行理性而精确的分析。相较于政治，科学是一种更容易取得共识的手段。围绕科学理论和经验论证所形成的共识更容易达成。科学通过将数学符号和人类语言紧密联系起来，令精确论断和严谨分析盛行起来。

在过去的二十年里， 经济增长理论并没有在科学之路上取得很多共识，难点在于如何对非竞争性假设下的规模效应进行建模。随着科学技术的升级换代，规模效应的重要性愈加突显，学术界已经无法忽略这些变化。为了将规模效应纳入经济增长理论当中，许多理论研究者提出垄断竞争的假设，但一批有影响力的传统主义经济学家仍坚持完全竞争条件下的价格接受理论和外部规模经济理论于是， 人们难免产生质疑，科学演绎为何无法消除这种分歧？

科学的力量使经济学家信仰坚定。罗伯特索罗（Robert Solow，1956）提出关于经济增长的数学模型时依赖的就是严谨的科学推演。但经济学家本身却经常被卷入到学院政治当中，就像琼 罗宾逊（Joan Robinson） 在1956年反对资本和总供给函数时所遭遇的那样。

学院政治，就如同其它形式的政治一样，充斥着激情满满的宣言，但真正醉心学术的经济学家会选择无视。可是随着被称之为“数学滥用”的伪科学方法的出现， 政治斗争开始身披科学的外衣。如同普通的数学理论一样，“数学滥用”也是由各种符号与理论描述组成，但此时，符号与文字叙述之间的联系并不紧密，自然描述与正式表达、理论推导与经验事实之间充满了需要填充的巨大空间。

1956年，索罗在其提出的经济增长理论中，将“资本”一词赋予了数学模型的变量，也赋予了国民收入账户上的数据和机械建筑等人们能直接观察到的物体上。借助新的变量，该模型将文字描述与数学公式较好地联系在一起， 增加理论和实证之间的关联程度。1962年，加里贝克尔在其建立的关于工资的数学模型中也提出了“人力资本”的概念， 并借此使论文中的文字描述与数学公式，理论与实证紧密结合在一起。巧合的是，该模型的论据也是由宏观数据、微观数据和有形的观察对象构成。

与之相反，艾伦 麦克格兰特和爱德华 普雷斯科特（McGrattan & Prescott，2010）曾打算在生产函数中引入一个新的自变量“位置”，但是由于在推导时滥用数学并缺乏相应的微观经济基础，新变量的加入变得毫无意义。尽管他们在推导的过程中引用的是产品分化和经济地理学方面精确定义过的概念，但由于他们使用这些数学公式的条件已经和原理论完全无关，方程中变量的含义也因此含混不清。

数学滥用使他们没有注意将理论与实践结合起来，比如，“ 位置 ” 既没有合适的度量单位，也不能直接观测。而且在理论和实证之间还存在一个令人震惊（且耐人寻味）的罅隙，且作者并未作出解释，即政府对“位置 ”的供给与当地居民数量成正比。若该假设成立，就会出现一个悖论，当人口与赡养比不断上升，而劳动人口与劳动力供给不变，当地的总产出是如何增加的？

麦克格兰特和普雷斯科特( 2 0 1 0 ) 是传统主义者滥用数学以鼓吹价格接受型经济增长模型的文章之一。自然地，人们会认为他们正将争论从学术转移到政治，因为在学术上他们已经站不住脚。若如此，那么其经济增长理论显得如此极端和无力也就不是学术上的问题那么简单了。

如果能够减少滥用数学的频率，那么它对于学术界的损害还能控制在一定范围内。但不幸的是，由于信息不对称的存在，分辨数学滥用还是合理使用的成本高昂，这意味着数学滥用对学术的损伤将是永久性的。

滥竽充数在所难免。一般情况下，普通读者一看到数学符号，下意识就会感到头疼，但如果文章质量过硬数学运用合理自然、理论与实证联系紧密、理论概念清晰可见，读者就会觉得物有所值。相反，一篇数学滥用的文章则难免会令人望而却步，久而久之读者就不再去仔细阅读数学推导的部分。而正因为没人去看、去分辨数学推导的好坏，作者就更加不会进行仔细的数学推导。到最后，劣币驱逐良币，只有低成本易制作的数学滥用的文章留下来，成为学术笑柄。

因此，对于经济学家来说，停止数学滥用人人有责，如果我们可以坚持共享准确而清晰的数学推导，将数学理论中晦涩难懂的概念抽象成简单易懂的名词，就如同“人力资本”，“物质资本”，“非竞争性”这些名词一样， 那么我们的整体科研水平就会更快地提升。

规模效应

20世纪70年代，我们的生活中并没有手机，而现在全球手机总量已超过60亿部，这种变化将有助于我们去理解随后各种经济增长理论的演变。

经济增长理论中的分歧

传统的将规模效应引入经济增长理论的方法可见马歇尔（Marshall，1890）的一篇文章，在文中马歇尔给出了大量同质的手机生产商中单个生厂商的生产函数g(X)f(x)，其中x指的是公司可以掌控的生产要素，X指的是整个行业可以控制的生产要素。这种方法有一个明显的缺陷就是，以g(X)作为正溢出效应的标志，无法合理估计这种效应的产生方式和溢出程度。是需要面对面接触呢，还是需要地理上的接近才能发生这种效应呢？如果我们将各公司掌控的要素x=(a，z)，分成非竞争性要素a和竞争性要素z，就会使f(x)变成竞争性要素z的一次齐次方程，而根据欧拉定理，可知竞争性生产要素z所取得的总回报正好等于社会所生产的总产品。也就是说在完全均衡的市场下，任何生产者剩余或者是“马歇尔租金”，其实都只是竞争性要素所要求回报的一部分。

在上述论证中，假设非竞争性要素a是所有公司都可以使用的，没人能够排他占有非竞争性要素这一资源，对于单个公司来说，它的产出公式就是A f(z)，A是所有非竞争性、非排他性要素之和，也就是公共产品。

在我过去的研究中，一开始我假设产品是完全由市场定价的，并且外部规模经济的，但后来我逐渐采用了垄断竞争市场假设，因为我意识到至少“思想”这一非竞争性因素是有部分排他性的。由于部分排他性的引入，使得溢出效应的推导更加精准。非竞争性，它在逻辑上是独立的，是“思想”所具有的一项特征，是规模效应的源泉，而规模效应也是当下手机时代发展甚至是全人类历史发展的重要原因之一。

在允许非竞争要素具有部分排他性的模型中，创意就不会被当作纯公共品。在这些模型中，企业有激励去创造如同手机一样的新产品，或者将新的理念传播到世界各个角落。但对于这类模型，人们也会产生疑问：为什么有价值的非竞争性的“创意”，它的传播速度比“手机”要慢？政府要如何通过改变对企业的激励来影响传播效率？

尽管已经有许多经济增长理论向贸易理论靠拢，使用垄断竞争性市场假设来研究经济总量模型，但还是有一些传统主义者在文章中坚持使用马歇尔外部规模经济理论中所需要的微观经济假设，即产品价格完全由市场决定以及“思想”的非排他性的假设。也许是因为溢出效应的范围一直无法界定，人们逐渐将注意力转移到了那些采用面对面才能产生创新的增长模型的假定上。由于在这些模型中，创新与新理念的传播无法给公司带来额外的好处，所以在这种情况下人们相互间就只能依靠无意识且随机的碰撞来交流思想，就像天然气分子与能源之间的转换一样。而由于限制条件过于严格，原本的数学模型也发生了扭曲，这也就不难理解为什么传统主义者能够在数学推导与理论叙述中取如此大的迂回空间。

数学滥用的例子

麦克格兰特和普雷斯科特(2010)其实就是将那些毫无意义的理论叙述与新的数学结论简单地摆放在一起。而米歇尔博俊与哈利列文（Boldrin & Levine，2008）的“完全竞争的创新”一文也滥用了数学，有关完全竞争理论已经有了一套严密的逻辑联系推导的数学结论，但在这篇文章中，作者却将这些逻辑联系引向完全不同的结论。一开始，这些创新者采用了垄断市场的假设：一家供应商垄断了一样新产品的供给，然后作者就想当然地让市场强行为垄断者的产品定价，并将垄断者强行接受该价格作为垄断行为的条件。

他们的用语不仅不符合自己的模型，也不符合任何正规分析方法。比如他们声称基于欧拉定理的讨论并不适合他们的结论，因为只有在缺乏产能约束的前提下价格才与边际成本相同。罗伯特卢卡斯（Robert Lucas）也采用同样的不受约束的用语来绕开书籍和理论对于思想形成的重要作用，他声称：“有些知识会被‘体现’在书本中、经典理论中，机器以及其他一些物质资本中，而且我们都知道如何将资本引入到经济增长模型中，但是我们同样知道这种引入本身无法为经济的持续长提供动力。”在以上两个例子中那些著名的理论都证明这些人是错误的，任何一个两部门增长模型都会指出马歇尔的局部均衡理论是如何让博俊与列文(2008)误入歧途的。随便找出一个产品种类增加型或者产品质量分级改善型内生增长模型都是反驳卢卡斯观点的有力证据。

在卢卡斯和摩尔（Lucas & Moll，2014）的文章中，他们的数学滥用包含了用语背离经典理论以及数学推导错误两大问题。文中，他们假设期初工人的知识水平是无限的,且服从厚尾帕累托分布P。在此假设下，卢卡斯和摩尔认为工人间随机接触而形成的知识传播使得经济以g[P](t)的速度增长，并且随着t趋向于无穷收敛于γ>0。

然而，分布P是难以被验证的，这是由于P的前提是要求在0时刻，未来任意时刻所要用到的每一样生产技术都已被一些人所掌握。为了解决这一问题，文章的作者提出了一个变通的假设：“经过观察，我们认为这一变通的假设与原假设是观测等效的：即在t=0时，知识是有限的，而新知识会以任意低的频率出现。”在该假设下，在一个经济集合中所有的经济体都以B为假设前提（B代表有限的初始知识水平）。在该条件下，随着每个人都学会了已知的技能之后，经济增长速度会趋近于0。但随着服从厚尾帕累托分布P的新知识以β的速率引入，B经济体最终会变成P经济体。由于β任意低，所以从B到P的过渡会经历一个任意长的时间。

假定β>0，使β→P标志着经济集合中一个特定经济体的情况。对经济增长速度的观测要在有限时间T内当T足够大时，g[P]（T）将趋近于γ，但g[β: B→P](T)则会由于β趋向于无穷小而无限接近0。这就是说从分布B转变过来的分布P和原来的分布P所得到的经济增长率会不同，这就产生了悖论。

悖论是如何产生的？需要注意，在原文数学推导中包含了一个极其不标准的用语“观测等效”。该文章的数学推导实际上就是在一阶算式中去求二重极限：

根据文章所述，上述算式结果为γ，而若是将求极限的顺序对调为：

其结果则会变为0 。卢卡斯和摩尔（2014）文中使用了第一种方程来证明其观测等效性的说法，但如果有人认真地对其数学推导过程进行演算，就会发现这里的二重极限是不存在的，不管用哪种顺序求极限的结果都是有问题的。

数量经济学的“潜规则”

在读过卢卡斯和摩尔的文章后，我曾经向他们指出他们文章中存在的观测等效以及极限不连续的问题，但他们仍然将存在争议的推演过程留在了论文当中并且该论文还在《政治经济学杂志》当中发表了。这也许可以说明至少在经济增长理论方面，我们的作者和编辑达成了一种默契，即读者都会漠视数学的滥用并接受这一怪象。

最后一个例子，来自托马斯皮凯蒂与加布瑞尔祖克曼（Piketty & Zucman ，2014）的一篇文章，在文中，他们引用了一个经典增长模型的结论：当储蓄率一定

皮凯蒂和祖克曼（2014）将数据和实证清晰精准地呈现出来，但对于数学推导的一些细节并没有展现出来，因为他们也认可这种潜规则：实证才是科学，数学推导只是消遣。

现在的学界中，数学推导就像是在变戏法，每个人都知道里面有毛病，但是没人会去拆穿，因为人们不在乎， 甚至我们的从业者最后都会变成职业魔术师，因为对于职业魔术师来说去拆穿同行的魔术是一件不礼貌甚至不道德的事情。

当我开始学习数量经济学时，它是由一种与现在完全不同的规则所主导的。虽然不是毫无例外，但也远比现在要强，每当经济学家们用数学去推导经济学中高度抽象的概念时，我们都会以极其清晰准确严谨的态度满怀骄傲地完成。当然也有像琼罗宾逊那样在学术讨论中落入下风后冒险滥用数学以做最后挣扎的人，这种人的名声也会受到损失。如果我们的学术环境变成了一个劣币驱逐良币的地方，里面充斥着各种滥用数学的文章，倒霉的只能是我们的后辈经济学家。试想一下如果没有资本的抽象概念，皮凯蒂和祖克曼如何能够组织起他们的论点？如果琼罗宾逊滥用数学的方式泛滥起来，罗伯特索罗的模型又如何能够得以幸存呢？

文章来源：Romer, 2015, Mathiness in the Theory of Economic Growth, American Economic Review: Papers & Proceedings 2015, 105(5): 89–93.