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黎曼 (Riemann) ：关于几何基础中的假设
研究大纲
I. n 元量的概念
II. 能适用于 n 元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度）
III. 物理空间中的应用
研究大纲
大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此间的关系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。
从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于「多元延伸量」（multiply extended quantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。因此我首先要从一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。我将指出，「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉，几何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。因而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题看，最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义，它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可，是一个假说。因此，我们能够做的是研究这类数据关系的可靠性（在我们的观察范围内当然相当可靠）。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。
I. n 元量的概念
在尝试解决第一个问题── n 元延伸量概念的建立之前，我恳求大家多批评指教，因为在这种哲学性质的工作上，观念比理论建构还难，而我在这方面所受的训练甚少。过去所学，除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示，他的五十周年纪念册及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特 (Herbart) 的一些哲学研究外，也少能派上用场。
1.
要了解「量」必须先有一个关于「量」的普遍观念和一些能体现它的特殊事例 (instance)。这些事例形成了所谓的流形：任两事例若可以连续地渐次转移成为彼此，是连续流形，否则为离散流形。个别事例在前者中称为「点」(point)，在后者称为「元素」(element)。构成离散流形的例子很多，至少在较高等的语言中一定可以找得到──只要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了（在离散量的研究中，数学家可以毫不迟疑地假设所有的「东西」都是同类的）。反过来说，连续流形的例子在日常生活中很少，大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。
利用标记或圈围取出流形的某些部分，称为「量」。对「量」的定量比较工作，在离散的情形可以用数的，在连续的情况下则需靠测量。测量需将两个被比较的量叠合；因此必须选出一个量，充当其它量的测量标准。否则，我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较，只能谈「较多」(more)、「较少」(less)，而不知绝对的「大小」(how much)。以这种的方式进行，形成了对「量」研究的一个部门。其中「量」的观念独立于测距 (measurement)，而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。这项研究对数学许多部门而言是必要的（例如多变量解析函数的处理），而这种研究的缺乏，正是阿贝尔 (Abel) 的著名定理及拉格郎吉 (Lagrange)、发府 (Phaff) 和亚各比 (Jacobi) 等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发挥的主要原因。从「延伸量」的科学的这个部门出发，不需借助任何其它的假设，我们首需强调两点，以澄清「n 元延伸量」的基本性质。第一点是关于「多元延伸量」这种概念的建立，而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题。
2.
在一个概念下的事例如果构成连续流形，则从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：亦即非往前则往后。现在，我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的一元流形，以至于旧流形上每一点都确定的走向新流形上的对应点，则仿前述，这样的例子便构成了一个二元延伸流形。以此类推，我们可以想象一个二元延伸流形。以此类推，我们可以想象一个二元延伸流形确定地移向一个完全不同的二元流形而得到一个三元延伸流形，不难看出如何继续这个建构。如果我们把这个过程中的参与者看成是变动的，而非固定的概念，则这种建构可以看成是融合n维和一维的变动度(variability)而得到n+1维的变动度。
3.
反之，我现在要说明怎样将一个具已知边界的变动度分解为一个一维变动度及一个较低维的变动度。考虑流形上沿一个一维向度的分解，固定其中之一，使其分解上的点得以相互比较。沿这个向度上的每一点都给定一个值，值随着点的不同而连续变化。换句话说，我们可以在这个给定的流形上定出一个连续的位置函数，使在流形上的任一区，函数的值绝非常数。则当此函数的值固定时，共享此值的所有原流形上的点，便形成了一个较低维的连续流形。函数值改变时，这些流形便分解而连续地从一个变为另一个；我们因而可以假定它们全部都是同一个子流形的变换，而这种变换会使得第一个子流形上的每一点规律地对应到第二个子流形上的每一点。也有些例外的情形，它们相当重要，在此略过。这样，流形上点的位置，便可化简为一个数字以及一个较低维的子流形上的点的位置。我们不难发现，原流形若是n维，则分解后所得到的子流形必有n-1维，这个过程重覆n次以后，一个n元流形上的位置关系便可化为n个数字；任一个流形若可依此法予以化简，则化简的结果必然是有限个数字。不过也有些较特殊的流形，其位置最后化简的结果是无穷列或连续体。这流形的例子有：某一区域上的所有函数、一个实体的所有形状等等。
II.能适用于n元量的度量关系
（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度）
在建立了n元流形的观念，并将其中位置决定问题转化成为数值决定问题的基本性质确立之后，我们接着要讨论第二个问题，亦即研究能适用于流形的度量关系，及决定这些关系的条件。这些度量关系只能以抽象方式表示，而它们之间的关连只能藉公式表达。然而在某些假设之下，我们可以把它们化成能独立地以几何方式表现的关系，也因而可以将数量运算的结果以几何表示。因此，虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但其结果可用几何方式表出。这两个部分的基础见于枢密顾问高斯谈曲面的著名论文中。
1.
测量，需要先让量独立于位置而存在；有很多方法可以办到这一点。这正是我在此所要提出的假说，亦即线的长度与其形状无关，每条线都能以另一条线测距。位置化简为数量，则n元流形中的点的位置可用x1,x2,x3直到xn等n个变量表示；如此，则只要X（X=x1,x2…xn）能表为参数t的函数，便能定出直线。所以我们的主题是，为线的长度定出一个数学式；为此，所有的X要有共同的单位。我要在某些特定条件的限制下处理这个问题。首先我要规定我所讨论的线，其dxi（xi的微变化量）间的比值呈连续变化。如此，我们可以把线分割成许多小段的「线元素」（line element），使得「线元素」上dx（即dx1,dx2,dx3,,dxn间）的比为定值，我们的问题则是，如何为每一点找出一个ds的一般式，其中ds必须以x和dx表示。再则，我要假设，当「线元素」上每一点都产生相同的微量移动时，「线元素」的长度ds一阶不变；也就是说，如果所有的dx都以同一比例放大，则「线元素」亦以该比例放大。在这些假设之下，「线元素」可以是dxi的一个一次齐次函数，其中dxi全变号时「线元素」不变，且一次齐次式的系数都是x的函数。举一个最简单的例子：先找一个式子来代表与这个「线元素」的起点等距的所有点所形成的n-1维流形；亦即找到一个位置的连续函数，使得上述各等距n-1维流形代入之值都不同。则向各个方向远离起点时，函数的值必须越来越大，或越来越小。我要假设在其往各方向远离起点时，函数值越来越大，而在起点产生最小值。因此函数的一次与二次微分系数如为有限，则一次项系数须为零，而二次项系数为非负；在此假设二次项系数恒正。当ds固定时，这个二次微分式亦固定；当ds以同一比例放大时（dx亦然），它以平方的关系放大。因此，它等于ds2乘以一个常数，而ds也因而等于一个以x的连续函数为系数的dx的正二次齐次式的方根。在物理空间中，如用直角坐标，则ds=（Σ（dx）2）1/2；物理空间是我们这个「最简单的例子」中的特例。下一个次简单的例子应该算是以四次微分式的四次方根来表示线元的流形了。研究这种更一般的情形并不需要新的原理，然而非常费事，且对物理空间的研究帮助不多，特别是因为其结果无法以几何形式呈现。我因此只打算研究「线元素」能表为二次微分式方根的这种流形。若以n个新的独立变量的n个函数，代替原有的n个函数，则可将原来的式子转换成一个类似的式子。然而我们并不能这样任意地用此法把一式变成另一式，因为这样的式子有n(n+1)/2个系数是独立变量的任意函数。引进新变量时只能满足n个条件，因此只能将n个系数的值求出。还剩下n(n-1)/2个系数，完全取决于所代表的流形，而需要n(n-1)/2个位置函数来定出它的度量关系。因此，像平面和物理空间这样子，线元素可写成(Σ(dx)2)1/2的流形，构成了一种特殊情形，是我们正要探讨的。他们需要一个名称；因此我想把这种线元素平方能以全微分平方和之式子表示的流形叫做「平」（flat）的流形。为了分析上述流形的主要差别，必须除去依赖于表现方式的那些特性。为了达到这一点，我们要依据一定的原理来选择变量。
2.
基于以上的目的，我们要建立一个自一原点出发的测地线或最短曲线系统。如此，任意点可经由两个条件而确定其位置：连接该点与原点的最短曲线长度，以及此线在原点的初始方向。也就是说，找出dx0（起始点上沿最短曲线的dx）的比值，及此线的长度s，就可得所求点的位置了。我们现在引进一组线性表示da来代替dx0，使得在原点线元素的平方等于这些dai的平方和，因此独立变量便成了s，以及诸da的比。最后，找x1,x2,x3,…，xn，使其与dai成正比，且平方和等于s2。引入这个量之后，对于微量的x，线元素的平方会等于Σdxi2。但它的展式中的下一级则是一个有n(n-1)/2项的二次齐次式：(x1dx2-x2dx1),(x1dx3-x3dx1)……,形成了一个四次的微量；我们若将它除以（0,0,0，……），（xi,x2,x3,……），（dx1,dx2,dx3,……）三点为顶点的三角形的平方，将得到一个有限值。此值在x和dx同属一个二元线性式时，或当由原点到x及由原点到dx这两条线属同一面元素时，是不会变的，因此视面元素的位置和方向而定。很显然，若我们的流行是「平」的，它会等于0；此时线元素的平方可以化为Σdxi2：因而可以将该值视为在此面元素的方向上与「平」之偏差的一个指标。将它乘以3/4；则便成了枢密顾问高斯所称的面曲率。先前提过，需要有n(n-1)/2个位置函数才能确定上述n元流形的度量关系。因此，每点若给定n(n-1)/2个面方向的曲率，便可以定出流形的度量关系；但有个条件：这些曲率值之间不能有恒等式的关系，而确实如此，一般不会发生这种情形。这样一来，这种能以微分平方式的方根表线元素的这种流形，其度量关系因此以完全独立于变量的选择表示。我们也可以用同样的方法处理一种线元素表现的稍微复杂的情形──线元素表成微分的四次方根。在这种更一般的情形下，线元素无法化成微分式的平方和的根号，因此线元素平方与「平」的偏差度将会是二阶的微量，而非如其他流形是四阶微量。这种特性，不妨叫做最小部份的平面性。然而就目前而言，这些流形最主要的特性，也是我们之所以要加以研究的原因，是二维流形的度量关系可以用几何上的「曲面」来代表，而多元流形的度量关系可以化为自身所包含的「曲面」。我们将再做讨论。
3.
在曲面的了解上，内在的度量关系，虽然只和曲面上路径的长度相关，却往往和曲面与其外部点之相对位置扯上关系。然而我们可以自外在关系中把曲面抽出，方法适用一种不改变面上曲线长度的弯曲；亦即曲面只能加以弯曲，而不能伸缩，因弯曲而产生的各种曲面都视为相同。因此，任何的圆柱面和圆锥面和平面是相同的，因为只要将平面弯曲便可形成锥和柱，而内在度量关系不变，所有关于平面的定理──整个平面几何学，都仍然有效。反过来说，球和上述的三种面则根本上不同，因为由球面变成平面势必要伸缩。根据前面的研究，二元量的线元素若能表为微分平方式的方根，如曲面，则其每一点的内在度量关系决定于（面）曲率。就曲面而言，这个量可以想象成曲面在这点的两个曲率积；或者由另一角度看：这个量乘以一个由测地线形成的无限小三角形（随着其直径的缩小），会等于内角和减去两直角（用弪度量表示即内角和减π）的一半。第一个定义预设了两个曲率积在曲面弯曲下不变的定理。第二个定义则假定一个无限小三角形，其内角和减去两直角会正比于面积。为了在n元流形中给定点的一个面方向（surface direction）上，替曲率下一个可以理解的定义，我们先提过，发自一点的最短曲线决定于其初始方向。同理，如果将所有起自一点而处在面元上的矢量延长成最短曲线，则可定出曲面；而这曲面在这定点上有一定的面曲率，此面曲率等于此点的n元流形沿曲面方向的曲率。
4.
把这些结果应用到空间几何上之前，我们还需要对「平」的流形（亦即，线元素平方可以表为全微分的平方和的流形）做一些通盘的考虑。
在一个「平」的n元流形上，每一点，每一方向的曲率皆为0；然根据前面的研究，如果要决定其度量关系，必须知道每一点上有n(n+1)/2个独立曲面方向，其曲率为0。曲率处处为0的流形，可以看成是曲率处处为定值的流形的一种特例。曲率为定数的流形，其共同特征如下：其上的图形可移动而不必伸缩。很显然，每一点为每一方向的曲率如果不全相同，图形便无法自由地平移、旋转。反过来说，流形度量的性质完全由曲率决定；因此在任一点的每个方向上的值与在另一点每个方向上的值完全相同，因此可以从任何一点开始。所以在曲率固定的流形上，图形可以摆在任何位置。这些流形的度量关系仅决定于曲率之值；顺便由解析的观点看，此值若记为a，则线元素可表为(Σdx2)1/2/(1+(a/4)Σx2)。
5.
常曲率的曲面可用来做几何的例证。我们不难看出，常曲率为正的曲面，必可滚贴到半径为该曲率倒数的球上。为了了解这种曲面的各种变化，我们取一个球，以及在赤道与球相切的旋转面。
常曲率比球大的这类曲面，会从球的内部与赤道相切，类似轮胎面的外侧；它们也可以滚贴上半径较小的球带，但可能不止一层。曲率比球小，而仍为正的曲面，可由下面的方法得到：用两个大半圆切割较大半径的球面，再把切割线贴合起来。曲率为0的曲面，是一个在赤道与球相切的圆柱；若曲率为负，则类似轮胎面的内侧，在赤道与球外切。如果把这些曲面看成面块（pieces of surface）在其中移动的所有可能位置，正如空间是物体的位置一般，则小面块可在曲面上自由移动而不必伸缩。曲率为正的曲面可以让面块自由移动而不必弯曲，如球面，但曲率为负就不行了。除了这种小面块对位置的独立性之外，在曲率为0的曲面中，有一种其他曲面没有的特性，即方向独立于位置。
III.物理空间中的应用
1.
研究了n元量的度量关系的决定方式之后，我们可以给出决定物理空间的度量关系的充要条件；但大前提是，先假设线长是独立于其形状，且线元素可表成微分平方式的方根──因此极微小的状态可视为「平」的。
首先，这些条件可以表成为在每一点有三个面方向，它们的曲率为0；因此，只要三角形三内角和等于两直角，物理空间的度量关系便确立了。
但其次，如果我们跟欧几里德一样，假设不止线独立于形状，而体亦然，则结果将是曲率处处为定数；而知道一个三角形的内角和，便知道所有三角形的内角和。
第三，也是最后，与其假设线的长度独立于位置、方向，亦可假设长度与方向独立于位置。基于这个观念，位置的差或变化，是用三个独立单位表示的复数。
2.
在前述讨论中，我们先将延展性（extension）或区域性（regionality）的观念和度量关系分开，然后发现同一个延展关系下可以容许不同的度量关系；我们选择了一套特殊的度量，使得物理空间的度量关系得以由此确定，而所有相关的定理可由此推得。接下来要讨论的是，这些假设的产生，是如何依赖经验。在这里，延展关系和度量关系差别就大了：前述第一种情形的可能状态是离散的，其得自经验的理解虽未必完全确定，却是准确的；而第二种可能状态是连续的，经验的取决准确率再高，仍是不准的。这种分别，在将经验扩充到观察所不能及的大范围和小范围时，会特别重要，后者会在观察能力之外越来越模糊，但前者不会。物理空间的建构推广到超乎量度之大时，注意「无界」与「无限」之别，一个是延展关系的，一个是度量关系的。空间是一个无界的三元流形这件事，是一个被用于所有的对外在世界的理解的一个假设。扩充感官认知时要用到它，探索物体的可能位置时也要用到它；从这些用途中不断肯定这个假设。空闲无界的性质，其确切性比任何一种外在的经验都强，但无限性却无法由此得到；恰恰相反的是，如果假设物体独立于位置，因而给定一个固定的正曲率（不管多小都可以），则物理空间必属有限。如果在一个曲面方向把初始矢量沿长成最短曲线，可以得到一个正常曲率的无界曲面，因而该曲面若在平的三元流形内，必为一球面，因而是有限的。
3.
超测度之大的问题，对处理自然界现象是没有用的。但超测度之小的问题则不同。我们对于微观现象的因果关系的知识，有赖于我们处理无限小问题的精确度。近几个世纪，人类对于自然界运作方式的理解几乎全来自建构的精确性，这种精确性来自无限量分析的发明，以及现代物理所借助的阿基米德、牛顿、伽利略等人的原理。相对的，在尚无法运用这种原理的自然科学中，它的因果关系仍有赖于微量的分析，但只能做到显微镜的放大极限为止。因此，物理空间的度量关系中，无限小的问题并非无用。
我们若假设物体独立于位置而存在，则曲率必处处为常数，而由天文观测中可知，这个常数不能非0；至少，其倒数必大到使望远镜的观测范围变得微不足道。但如果物体不独立于位置而存在，则无限小的度量关系便不能由无限大的来下结论；每一点的曲率都可以在三个方向自由变动，只要满足空间中每一个可测量的部分的总曲率显然是0。若线元素无法如先前所述，表为微分式平方和的方根，关系会变得更复杂。物理空间度量关系的基本认知来自刚体和光束的概念，而它们似在无限小的世界中并不适用；因此可以相当肯定的认为，物理空间中的度量关系，在无限小的时侯并不合乎几何学的假说。事实上，只要这点能够更方便我们解释现象，就应立即接受这个假设。
几何学的假说在无限小时是否适用的问题，牵涉到空间度量关系的基础。关于此问题（仍属物理空间的研究），上述的脚注是适用的；在离散流形中，度量关系的原理已经包含在流形的概念中；但在连续的情形，则必须来自别处。因此，要就是物理空间的深层结构是离散流形，要不就是其度量关系的基础必须自外界寻找，如作用其上的束缚力。
要回答这些问题，必须从现象的理解出发，理解这些经验所认可的现象；牛顿打下了它的基础，并一步步用其所无法解释的现象加以修正。像前面这种，从一般概念出发的研究，只能保证我们的工作并未受狭隘的观念所限，传统的偏见并未阻碍我们理解事物的关联性。这就把我们带进了另一个领域──物理学，我想我们就此打住吧!
这篇论文是黎曼在一八五四年六月十日于哥廷根大学的就职演讲。
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