标签： 科普

生命是一本关于破坏的文集。你构建的一切最终都会崩溃。每个你爱的人都会死去。任何秩序或稳定感都不可避免地湮灭。整个宇宙都沿着一段惨淡的跋涉走向一种沉闷的终极动荡状态。

为了跟踪这种宇宙衰变，物理学家使用了一种称为熵的概念。熵是无序性的度量标准，而熵总是在上升的宣言——被称为热力学第二定律——是自然界最不可避免的宿命之一。

长期以来，我一直被这种普遍的混乱倾向所困扰。秩序是脆弱的。制作一个花瓶需要艺术性和几个月的精心策划，但用足球破坏它只需要一瞬间。我们一生都在努力理解一个混乱和不可预测的世界，在这个世界里，任何建立控制的尝试似乎都只会适得其反。热力学第二定律断言机器永远不可能达到完美效率，这意味着无论宇宙中结构何时涌现，它最终都只会进一步耗散能量——无论是最终爆炸的恒星，还是将食物转化为热量的生物体。尽管我们的意图是好的，但我们是熵的代理人。

“除了死亡、税收和热力学第二定律之外，生活中没有什么是确定的”，麻省理工学院的物理学家Seth Lloyd写道。这个指示是无法回避的。熵的增长与我们最基本的经历深深交织在一起，解释了为什么时间向前发展，以及为什么世界看起来是确定性的，而不是量子力学上的不确定性。

尽管具有根本的重要性，熵却可能是物理学中最具争议的概念。“熵一直是个问题，”Lloyd告诉我。这种困惑，部分源于这个词在学科之间“辗转反侧”的方式——从物理学到信息论再到生态学，它在各个领域都有相似但不同的含义。但这也正是为何，要真正理解熵，就需要实现一些令人深感不适的哲学飞跃。

在过去的一个世纪里，随着物理学家努力将迥异的领域整合起来，他们用新的视角看待熵——将显微镜重新对准先知，将无序的概念转变为无知的概念。熵不被视为系统固有的属性，而是相对于与该系统交互的观察者的属性。这种现代观点阐明了信息和能量之间的深层联系，现在他正在帮助引领最小尺度上一场微型工业革命。

在熵的种子被首次播下200年后，关于这个量的理解从一种虚无主义转为机会主义。观念上的进化正在颠覆旧的思维方式，不仅仅是关于熵，还是关于科学的目的和我们在宇宙中的角色。

熵的概念源于工业革命期间对双面印刷机的尝试。一位名叫萨迪·卡诺（Sadi Carnot）的28岁法国军事工程师着手计算蒸汽动力发动机的最终效率。1824年，他出版了一本118页的书，标题为《对火的原动力的反思》，他在塞纳河畔以3法郎的价格出售。卡诺的书在很大程度上被科学界所忽视，几年后他死于霍乱。他的尸体被烧毁，他的许多文件也被烧毁了。但他的书的一些副本留存了下来，其中藏着一门新科学“热力学”的余烬——火的原动力。

卡诺意识到，蒸汽机的核心是一台利用热量从热物体流向冷物体的趋势的机器。他描绘了可以想象到的最高效的发动机，对可以转化为功的热量比例建构了一个界限，这个结果现在被称为卡诺定理。他最重要的声明是这本书最后一页的警告：“我们不应该期望在实践中利用可燃物的所有动力”。一些能量总是会通过摩擦、振动或其他不需要的运动形式来耗散。完美是无法实现的。

几十年后，也就是1865年，德国物理学家鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）通读了卡诺的书，他创造了一个术语，用于描述被锁在能量中无法利用的比例。他称之为“熵”（entropy），以希腊语中的转换一词命名。然后，他提出了后来被称为热力学第二定律的东西：“宇宙的熵趋于最大”。

那个时代的物理学家错误地认为热是一种流体[称为“热质”（caloric）]。在接下来的几十年里，他们意识到热量是单个分子碰撞的副产品。这种视角的转变使奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）能够使用概率重新构建并深化熵的概念。

玻尔兹曼将分子的微观特性（例如它们的各自位置和速度）与气体的宏观特性（如温度和压力）区分开来。考虑一下，不是气体，而是棋盘上的一组相同的游戏棋子。所有棋子的精确坐标列表就是玻尔兹曼所说的“微观状态”，而它们的整体配置——比如说，无论它们形成一个星形，还是全部聚集在一起——都是一个“宏观态”。玻尔兹曼根据产生给定宏观状态的可能微观状态的数量，来定义该宏观状态的熵。高熵宏观状态是具有许多相容的微观状态的宏观状态——许多可能的棋盘格排列，产生相同的整体模式。

棋子可以呈现看起来有序的特定形状的方式只有这么多，而它们看起来随机散布在棋盘上的方式要多得多。因此，熵可以被视为无序的度量。第二定律变成了一个直观的概率陈述：让某物看起来混乱的方式比干净的方式更多，因此，当系统的各个部分随机地在不同可能的配置之间切换时，它们往往会呈现出看起来越来越凌乱的排列。

卡诺发动机中的热量从热流向冷，是因为气体颗粒更有可能全部混合在一起，而不是按速度分离——一侧是快速移动的热颗粒，另一侧则是移动缓慢的冷颗粒。同样的道理也适用于玻璃碎裂、冰融化、液体混合和树叶腐烂分解。事实上，系统从低熵状态移动到高熵状态的自然趋势似乎是唯一可靠地赋予宇宙一致时间方向的东西。熵为那些本可以反向发生的进程刻下了时间箭头。

熵的概念最终将远远超出热力学的范围。艾克斯-马赛大学的物理学家Carlo Rovelli说，“当卡诺写他的论文时……我认为没有人想象过它会带来什么”。

扩展熵

熵在第二次世界大战期间经历了重生。美国数学家克劳德·香农（Claude Shannon）正在努力加密通信通道，包括连接富兰克林·罗斯福（Franklin D. Roosevelt）和温斯顿·丘吉尔（Winston Churchill）的通信通道。那次经历使他在接下来的几年里深入思考了通信的基本原理。香农试图测量消息中包含的信息量。他以一种迂回的方式做到这一点，将知识视为不确定性的减少。

乍一看，香农想出的方程式与蒸汽机无关。给定信息中的一组可能字符，香农公式将接下来出现哪个字符的不确定性定义为每个字符出现的概率之和乘以该概率的对数。但是，如果任何字符的概率相等，则香农公式会得到简化，并变得与玻尔兹曼的熵公式完全相同。据说物理学家约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）敦促香农将他的量称为“熵”——部分原因是它与玻尔兹曼的量非常一致，也因为“没有人知道熵到底是什么，所以在辩论中你总是占优势”。

正如热力学熵描述发动机的效率一样，信息熵捕捉到通信的效率。它与弄清楚消息内容所需的是或否问题的数量相对应。高熵消息是无模式的消息；由于无法猜测下一个角色，这条信息需要许多问题才能完全揭示。具有大量模式的消息包含的信息较少，并且更容易被猜到。“这是一幅非常漂亮的信息和熵环环相扣的画面，”Lloyd说。“熵是我们不知道的信息；信息是我们所知道的信息”。

在1957年的两篇具有里程碑意义的论文中，美国物理学家E.T.Jaynes通过信息论的视角来观察热力学，巩固了这一联系。他认为热力学是一门从粒子的不完整测量中做出统计推断的科学。Jaynes提议，当知道有关系统的部分信息时，我们应该为与这些已知约束相容的每个配置分配相等的可能性。他的“最大熵原理”为对任何有限数据集进行预测提供了偏差最小的方法，现在应用于从统计力学到机器学习和生态学的任何地方。

因此，不同背景下发展起来的熵的概念巧妙地结合在一起。熵的增加对应于有关微观细节的信息的损失。例如，在统计力学中，当盒子中的粒子混合在一起，我们失去了它们的位置和动量时，“吉布斯熵”会增加。在量子力学中，当粒子与环境纠缠在一起，从而扰乱它们的量子态时，“冯·诺伊曼熵”就会增加。当物质落入黑洞，有关它的信息丢失到外部世界时，“贝肯斯坦-霍金熵”就会增加。

熵始终衡量的是无知：缺乏关于粒子运动、一串代码中的下一个数字或量子系统的确切状态的知识。“尽管引入熵的动机各不相同，但今天我们可以将它们都与不确定性的概念联系起来，”瑞士苏黎世联邦理工学院的物理学家Renato Renner说。

然而，这种对熵的统一理解引发了一个令人不安的担忧：我们在谈论谁的无知？

一点主观性

作为意大利北部的一名物理学本科生，Carlo Rovelli从他的教授那里了解了熵和无序的增长。有些事情不对劲。他回到家，在一个罐子里装满油和水，看着液体在他摇晃时分离——这似乎与所描述的第二定律背道而驰。“他们告诉我的东西都是胡说八道，”他回忆起当时的想法。“很明显，教学方式有问题。”

Rovelli的经历抓住了熵如此令人困惑的一个关键原因。在很多情况下，秩序似乎会增加，从孩子打扫卧室到冰箱给火鸡降温。

Rovelli明白，他对第二定律的表面胜利不过是海市蜃楼。具有强大热视觉能力的超人观察者会看到油和水的分离如何向分子释放动能，从而留下更加热无序的状态。“真正发生的事情是，宏观秩序的形成是以微观无序为代价的，”Rovelli说。第二定律始终成立；有时只是看不见。

在Gibbs提出这个悖论一个多世纪后，Jaynes提出了解决方法（他坚称吉布斯已经理解了，但未能清楚地表达出来）。想象一下，盒子里的气体是两种不同类型的氩气，它们相同，只是其中一种可溶于一种称为whifnium的尚未发现的元素中。在发现whifnium之前，没有办法区分这两种气体，因此抬起分流器不会引发明显的熵变化。然而，在whifnium被发现后，一位聪明的科学家可以使用它来区分两种氩物种，计算出熵随着两种类型的混合而增加。此外，科学家可以设计一种基于whifnium的活塞，利用以前无法从气体的自然混合中获得的能量。

Jaynes 明确指出，系统的“有序性”——以及从中提取有用能量的潜力——取决于代理人的相对知识和资源。如果实验者无法区分气体A和B，那么它们实际上是相同的气体。一旦科学家们有办法区分它们，他们就可以通过开发气体混合的趋势来利用功。熵不取决于气体之间的差异，而是取决于它们的可区分性。无序在旁观者的眼中。

“我们可以从任何系统中提取的有用功，显然也必然取决于我们拥有多少关于其微观状态的’主观’信息，”Jaynes写道。

吉布斯悖论强调需要将熵视为一种观察属性，而不是系统固有的属性。然而，熵的主观视图是难以被物理学家接受的。正如科学哲学家肯尼斯·登比（Kenneth Denbigh）1985年在书中写道，“这样的观点，如果它是有效的，将产生一些深刻的哲学问题，并往往会破坏科学事业的客观性”。

接受熵的这个有条件的定义需要重新思考科学的根本目的。这意味着物理学比某些客观现实更准确地描述了个人经验。通过这种方式，熵被卷入了一个更大的趋势，即科学家们意识到许多物理量只有在与观察者有关时才有意义（甚至时间本身也被爱因斯坦的相对论所重新渲染）。“物理学家不喜欢主观性——他们对它过敏”，加州大学圣克鲁斯分校的物理学家Anthony Aguirre 说，“但没有绝对的——这一直都是一种幻觉。”

现在人们已经接受了这种认知，一些物理学家正在探索将主观性融入熵的数学定义的方法。

Aguirre和合作者设计了一种新度量，称之为观测熵（observational entropy）。它提供了一种方法，通过调整这些属性如何模糊或粗粒度化观察者对现实的看法，来指定观察者可以访问哪些属性。然后，它为与这些观察到的特性相容的所有微观状态赋予相等的概率，就像 Jaynes 所提出的那样。该方程将热力学熵（描述广泛的宏观特征）和信息熵（捕获微观细节）连接起来。“这种粗粒化的、部分主观的观点是我们有意义的与现实互动的方式，”Aguirre说。

许多独立团体使用 Aguirre 的公式来寻求第二定律更严格的证明。就Aguirre而言，他希望用他的度量来解释为什么宇宙一开始是低熵状态（以及为什么时间向前流动）并更清楚地了解黑洞中熵的含义。“观测熵框架提供了更清晰的信息”，巴塞罗那自治大学的物理学家Philipp Strasberg说，他最近将其纳入了不同微观熵定义的比较。“它真正将玻尔兹曼和冯·诺伊曼的思想与当今人们的工作联系起来。”

与此同时，量子信息理论家采取了不同的方法处理主观性。他们将信息视为一种资源，观察者可以使用它来跟日益与环境融合在一起的系统进行交互。对于一台可以跟踪宇宙中每个粒子的确切状态的具有无限能力的超级计算机来说，熵将始终保持不变——因为不会丢失任何信息——时间将停止流动。但是，像我们这样拥有有限计算资源的观察者总是不得不与粗略的现实图景作斗争。我们无法跟踪房间内所有空气分子的运动，因此我们以温度和压力的形式取平均值。随着系统演变成更可能的状态，我们逐渐失去了对微观细节的跟踪，而这种持续的趋势随着时间的流逝而成为现实。“物理学的时间，归根结底，是我们对世界无知的表现”，Rovelli写道。无知构成了我们的现实。

“外面有一个宇宙，每个观察者都带着一个宇宙——他们对世界的理解和模型”，Aguirre说。熵提供了我们内部模型中缺点的度量。他说，这些模型“使我们能够做出良好的预测，并在一个经常充满敌意但总是困难的物理世界中明智地采取行动。

以知识为驱动

2023年夏天，通过Aguirre于2006年共同创立的一个名为Foundational Questions Institute（FQxI）的非营利研究组织，在英国约克郡一座历史悠久的豪宅庄园连绵起伏的山脚下，Aguirre主持了一次闭门研讨会（retreat）。来自世界各地的物理学家齐聚一堂，参加为期一周的智力安睡派对，并有机会进行瑜伽、冥想和野外游泳。该活动召集了获得FQxI资助的研究人员，以探讨如何使用信息作为燃料。

对于这些物理学家中的许多人来说，对发动机和计算机的研究已经变得模糊不清。他们已经学会了将信息视为真实的、可量化的物理资源，即一种可以诊断从系统中提取多少功的手段。他们意识到，知识就是力量（power）。现在，他们开始着手利用这种力量。

一天早上，在庄园的蒙古包里参加了一次可选的瑜伽课程后，这群人聆听了Susanne Still（夏威夷大学马诺阿分校的物理学家）。她首先讨论了一项新工作，针对可以追溯到一个世纪前，由匈牙利出生的物理学家利奥·西拉德（Leo Szilard）所提出的思想实验：

想象一个带有垂直分隔线的盒子，该分隔线可以在盒子的左右壁之间来回滑动。盒子中只有一个粒子，位于分隔线的左侧。当粒子从壁上弹开时，它会将分隔器向右推。一个聪明的小妖可以装配一根绳子和滑轮，这样，当分隔器被粒子推动时，它会拉动绳子并在盒子外举起一个重物。此时，小妖可以偷偷地重新插入分隔器并重新启动该过程——实现明显的无限能量源。

然而，为了始终如一地开箱即用，恶魔必须知道粒子在盒子的哪一侧。西拉德的引擎由信息提供动力。

原则上，信息引擎有点像帆船。在海洋上，利用你对风向的了解来调整你的帆，推动船向前行进。

但就像热机一样，信息引擎也从来都不是完美的。他们也必须以熵生产的形式纳税。正如西拉德和其他人所指出的，我们不能将信息引擎用作永动机的原因是，它平均会产生至少同样多的熵来测量和存储这些信息。知识产生能量，但获得并记住知识会消耗能量。

在西拉德构思他的引擎几年后，阿道夫·希特勒成为德国总理。出生于犹太家庭并一直居住在德国的西拉德逃离了。他的著作几十年来一直被忽视，直到最终被翻译成英文，正如Still在最近的一篇信息引擎历史回顾中所述。

最近，通过研究信息处理的基本要素，Still成功地扩展并泛化了西拉德的信息引擎概念。

十多年来，她一直在研究如何将观察者本身视为物理系统，受其自身物理限制的约束。趋近这些限制的程度不仅取决于观察者可以访问的数据，还取决于他们的数据处理策略。毕竟，他们必须决定要测量哪些属性以及如何将这些细节存储在有限的内存中。

在研究这个决策过程时，Still发现，收集无助于观察者做出有用预测的信息会降低他们的能量效率。她建议观察者遵循她所说的“最小自我障碍原则”——选择尽可能接近他们物理限制的信息处理策略，以提高他们决策的速度和准确性。她还意识到，这些想法可以通过将它们应用于修改后的信息引擎来进一步探索。

在西拉德的原始设计中，小妖的测量完美地揭示了粒子的位置。然而，在现实中，我们从来没有对系统有完美地了解，因为我们的测量总是有缺陷的——传感器会受到噪声的影响，显示器的分辨率有限，计算机的存储空间有限。Still展示了如何通过对西拉德的引擎进行轻微修改来引入实际测量中固有的“部分可观测性”——基本方法是通过更改分隔线的形状。

想象一下，分隔线在盒子内以一定角度倾斜，并且用户只能看到粒子的水平位置（也许他们看到它的阴影投射到盒子的底部边缘）。如果阴影完全位于分隔线的左侧或右侧，则可以确定粒子位于哪一侧。但是，如果阴影位于中间区域的任何位置，则粒子可能位于倾斜分隔线的上方或下方，因此位于盒子的左侧或右侧。

使用部分可观测的信息引擎，Still计算了测量粒子位置并在内存中对其进行编码的最有效策略。这导致了一种纯粹基于物理的算法推导，该算法目前也用于机器学习，称为信息瓶颈算法（information bottleneck algorithm）。它提供了一种通过仅保留相关信息来有效压缩数据的方法。

从那时起，和她的研究生Dorian Daimer一起，Still研究了改进的西拉德引擎的多种不同设计，并探索了各种情况下的最佳编码策略。这些理论设备是“在不确定性下做出决策的基本组成部分”，拥有认知科学和物理学背景的Daimer说。“这就是为什么研究信息处理的物理学对我来说如此有趣，因为在某种意义上，这是一种完整的循环，最终回归到对科学家的描述。”

重新工业化

尽管如此，他并不是约克郡唯一一个梦想西拉德引擎的人。近年来，许多FQxI受资助者在实验室中开发了有功能性的引擎，其中信息用于为机械设备提供动力。与卡诺的时代不同，没有人期望这些微型发动机为火车提供动力或赢得战争；相反，它们正在充当探测基础物理学的试验台。但就像上次一样，信息引擎正在迫使物理学家重新构想能量、信息和熵的含义。

在Still的帮助下，John Bechhoefer已经用漂浮在水浴中的比尘埃还小的二氧化硅珠重新创建了西拉德的引擎。他和加拿大西蒙弗雷泽大学的同事用激光捕获硅珠并监测其随机热波动。当硅珠碰巧向上晃动时，它们会迅速抬起激光阱以利用其运动。正如西拉德所想象的那样，他们通过利用信息的力量成功地提起了重量。

在调查从他们的真实世界信息引擎中提取功的限制时，Bechhoefer和Still发现，在某些状态下，它可以显著跑赢传统发动机。受到Still理论工作的启发，他们还追踪了接收部分低效信息的硅珠的状态。

在牛津大学物理学家Natalia Ares的帮助下，信息引擎现在正在缩小到量子尺度，她曾与Still一同参加了闭门研讨会。在与杯垫大小相当的硅芯片上，Ares将单个电子困在一根细碳纳米线内，该纳米线悬挂在两根支柱之间。这个“纳米管”被冷却至接近绝对零度的千分之一，像吉他弦一样振动，其振荡频率由内部电子的状态决定。通过追踪纳米管的微小振动，Ares和她的同事计划诊断不同量子现象的功输出。

Ares在走廊的黑板上写满了许多实验计划，旨在探测量子热力学。“这基本上就是整个工业革命的缩影，但尺度是纳米级的，”她说。一个计划中的实验灵感来源于Still的想法。实验内容涉及调整纳米管的振动与电子（相对于其他未知因素）的依赖程度，本质上为调整观察者的无知提供了一个“旋钮”。

Ares和她的团队正在探索热力学在最小尺度上的极限——某种意义上，是量子火焰（quantum fire）的驱动力。经典物理中，粒子运动转化为有用功的效率限制由卡诺定理设定。但在量子领域，由于有多种熵可供选择，确定哪个熵将设定相关界限变得更加复杂——甚至如何定义功输出也是一个问题。“如果我们像实验中那样只有一个电子，那熵意味着什么？”Ares说道。“根据我的经验，我们仍然在这方面非常迷茫。”

最近一项由美国国家标准与技术研究院（NIST）的物理学家Nicole Yunger Halpern主导的研究表明，通常被视为同义的熵生成的常见定义，在量子领域中可能会出现不一致，这再次出于不确定性和观察者依赖性。在这个微小的尺度上，不可能同时知道某些属性。而你测量某些量的顺序也会影响测量结果。Yunger Halpern认为，我们可以利用这种量子奇异性来获取优势。“在量子世界中，有一些经典世界中没有的额外资源，所以我们可以绕过卡诺定理，”她说道。

Ares正在实验室中推动这些新的边界，希望为更高效的能源收集、设备充电或计算开辟道路。这些实验也可能为我们所知道的最有效的信息处理系统——我们自己——的机制提供一些洞见。科学家们不确定人脑是如何在仅仅消耗20瓦电力的情况下，执行极其复杂的脑力运动的。也许，生物学计算效率的秘诀也在于利用小尺度上的随机波动，而这些实验旨在探测任何可能的优势。“如果在这方面有某些收获，自然界也许实际上利用了它，”与Ares合作的埃克塞特大学理论学家Janet Anders说道。“我们现在正在发展的这种基础理解，或许能帮助我们未来更好地理解生物是如何运作的。”

Ares的下一轮实验将在她位于牛津实验室的一个粉色的制冷室中进行。几年前，她开玩笑地向制造商提出了这个外观改造的建议，但他们警告说，金属涂料颗粒会干扰她的实验。然后，公司偷偷将冰箱送到汽车修理厂，给它覆盖了一层闪亮的粉色薄膜。Ares将她的新实验场地视为时代变革的象征，反映了她对这场新的工业革命将与上一场不同的希望——更加有意识、环保和包容。

“感觉就像我们正站在一个伟大而美好的事物的起点，”她说道。

拥抱不确定性

2024年9月，几百名研究人员聚集在法国帕莱佐，为纪念卡诺（Carnot）其著作出版200周年而举行的会议上。来自各个学科的参与者讨论了熵在各自研究领域中的应用，从太阳能电池到黑洞。在欢迎辞中，法国国家科学研究中心的一位主任代表她的国家向卡诺道歉，承认忽视了卡诺工作的重要影响。当天晚上，研究人员们在一个奢华的金色餐厅集合，聆听了一首由卡诺的父亲创作、由一支四重奏演奏的交响乐，其中包括这位作曲家的远亲后代。

卡诺的深远见解源于试图对时钟般精确的世界施加极致控制的努力，这曾是理性时代的圣杯。但随着熵的概念在自然科学中逐渐扩展，它的意义发生了变化。熵的精细理解抛弃了对完全效率和完美预测的虚妄梦想，反而承认了世界中不可减少的不确定性。“在某种程度上，我们正朝着几个方向远离启蒙时期，”Rovelli说——远离决定论和绝对主义，转向不确定性和主观性。

无论你愿不愿意接受，我们都是第二定律的奴隶；我们无法避免地推动宇宙走向终极无序的命运。但我们对熵的精细理解让我们对未来有了更为积极的展望。走向混乱的趋势是驱动所有机器运作的动力。虽然有用能量的衰减限制了我们的能力，但有时候换个角度可以揭示隐藏在混沌中的秩序储备。此外，一个无序的宇宙正是充满了更多的可能性。我们不能规避不确定性，但我们可以学会管理它——甚至或许能拥抱它。毕竟，正是无知激励我们去追求知识并构建关于我们经验的故事。换句话说，熵正是让我们成为人类的原因。

你可以对无法避免的秩序崩溃感到悲叹，或者你可以将不确定性视为学习、感知、推理、做出更好选择的机会，并利用你身上蕴藏的动力。