韦达定理

韦达定理：一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若存在两个根x₁和x₂，则满足以下关系：
根的和：x₁ + x₂ = -b/a       根的积：x₁x₂ = c/a

例1. 已知a，b，(a²+b²)/(ab+1)均为正整数，求证：(a²+b²)/(ab+1) 是某个整数的平方。

证明：(反证法 + 无穷递降法)
令a²+b²＝k(ab+1)，则(a，b)是不定方程：x²+y²＝k(xy+1)
的一组整数解。设k不是完全平方数，则不定方程的整数解x、y一定都不为0。因为若有一个为0，代入不定方程，必有k＝x²或k＝y²，与假设矛盾。因此：k(xy+1)＝x²+y²＞1
k是正整数，因此：xy+1＞0，xy＞-1
因x、y为整数解，所以xy≥0；x、y都不为0，所以x、y一定同号。
现在设x＝a′、y＝b′是上述不定方程的所有正整数解中，使x+y的值最小的一组解，不妨令a′≥b′，将y＝b′代入不定方程，整理得关于x的一元二次方程：
x²－kb′x+b′²－k＝0
显然a′是该方程的一个解，设该方程的另一个解为a″，则由韦达定理： a″+a′＝kb′，即：a″＝kb′－a′
显然a″是整数，且x＝a″、y＝b′也是前述不定方程的一组解，则a″与b′同为正整数。
但由韦达定理：a″a′＝b′²－k
a″＝(b′²－k)/a′＜b′²/a′≤a′
则：a″+b′＜a′+b′
这与a′+b′的值最小矛盾。因此k是完全平方数。

例2. 设正整数 a, b, c；a, b, c 满足0< a²+b²+c²−abc≤c+1。
求证： a²+b²−abc是完全平方数。

证明：(反证法 + 无穷递降法)
设k=a²+b²−abc是不超过 c+1的正整数，考虑关于(x, y) 的不定方程：   x²+y²−cxy=k
显然方程存在至少一组正整数解, 因为(a, b)就是一组解。
若k不是平方数, 设(a, b)就是这个方程的解(x, y)中满足x+y最小的那一组正整数解。
不妨设a≥b，令 y=b，则上述方程变为关于x的二次方程
x²−cb⋅x+b²−k=0
它显然有一根 a，设另一根为a′，则由韦达定理知：
a+a′=cb,  aa′=b²−k
于是 a′=cb−a是整数, 且显然不等于0(否则由b²−k=aa′=0知k为平方数，矛盾)。又由
cb⋅a′+k=a′²+b²>0+1=1  知cb⋅a′>1−k≥−c  ⟹ba′>−1
故 ba′≥，从而 a′≥0。又由前述知 a′≠0，故 a′>0。这表明 (a′,b)也是不定方程的正整数解。由(a, b)的最小假设，a′+b≥a+b
即 a′≥a。但：a′=(b²−k）/a≤(b²−1)/a≤(a²−1)/a<a
矛盾。故k必须是平方数。

根据例2的结论，设c= (a²+b²)/(ab+1)，则a²+b²−abc=c= (a²+b²)/(ab+1)是平方数，即证得例1。